Potenciação

por **Abelardo** » Qua Mar 23, 2011 18:51

Qual é o valor de ${2008}^{2}-{2007}^{2}+{2006}^{2}-{2005}^{2}+...+{2}^{2}-{1}^{2}$ ?

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 19:13

Note que ${2008}^{2}-{2007}^{2}+{2006}^{2}-{2005}^{2}+\ldots+{2}^{2}-{1}^{2} = \sum_{i=1}^{1004} (2i)^2 - (2i-1)^2$ .

Mas, temos que $\sum_{i=1}^{1004} (2i)^2 - (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{1004} 4i-1$ .

Agora, tente terminar.

por **Abelardo** » Qua Mar 23, 2011 22:18

Que curioso, hoje mesmo estava procurando algum material básico sobre somatório e produtório, que dizem ser ótimas ferramentas matemáticas... na parte ''PEDIDOS DE MATERIAIS'' desse fórum, deixei um tópico a procura desse material.

Bom professor, como não sei usar somatório, tentei resolver a questão de outra forma. Veja como fiz, por favor. O senhor pode conferir se está correta a resposta?

Coloquei que 2008 é igual a x, logo terei $\underbrace{{2008}^{2}-{2007}^{2}} {x}^{2}-{(x-1)}^{2}$

$\underbrace{{2006}^{2}-{2005}^{2}} + {(x-2)}^{2}-{(x-3)}^{2}$ $+...+\underbrace{{2}^{2}-{1}^{2}} +...+{(x-2006)}^{2}-{(x-2007)}^{2}$

Percebi que existem 1004 ''parcelas'' no total. Quando começei a resolver cada parcela vi que cada uma é o resultado de uma subtração em que

é o minuendo e que o subtraendo é um número natural, onde todos os subtraendos formam uma P.A. de razão

.

${x}^{2}-{(x-1)}^{2}=2x-1 {(x-2)}^{2}-{(x-3)}^{2}= 2x-5 {(x-2)}^{2}-{(x-3)}^{2}=2x-4013$

Fiquei com a seguinte expressão --> (2x-1)+(2x-5)+...+(2x-4013)

Logo terei 2x.1004=4.032.064

e usei a fórmula da soma de uma P.A. para encontrar o valor da soma de todos os subtraendos $\frac{(-4014)x1004}{2}=2.015.028$

Como resposta encontrei 4.032.064-2.015.028=2.017.036

Estou certo? Acho que com somatório deve ser mil vezes mais simples, mas não sei utilizar a ferramenta. Caso o senhor tenha alguma apostila falando sobre somatório ou produtório e puder disponibilizar, ficarei gratíssimo.

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 23:37

$\sum_{i=1}^{1004} (2i)^2 - (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{1004} 4i-1$

$= 4\sum_{i=1}^{1004} i - \sum_{i=1}^{1004} 1$

$= - 1004\cdot 1 + 4\frac{(1+1004)1004}{2}$

= 2017036

Quanto aos somatórios, eu tenho certeza que se você procurar direitinho pelo Google deve achar muito material.

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