II questão da ESA-2006

por **heroncius** » Qua Set 12, 2007 13:51

dividindo-se um número "X" por 5 obtem-se resto 2. dividindo-se um número "Y" por 5 obtem-se resto 4. o menor número inteiro, não negativo q se deve somar a X^5.Y^5 para se obeter um múltiplo de 5 é:A)0 B)1 C)3 D)2 E)4.

desde jah agradeço a atenção!!!!

por **admin** » Qua Set 12, 2007 22:52

Olá heroncius!

Nesta questão, em primeiro lugar, acho importante* utilizarmos a seguinte propriedade:
$x^5 \cdot y^5 = (x \cdot y)^5$

Então, vamos identificar $x \cdot y$ .

Como:

dividindo-se um número "X" por 5 obtem-se resto 2

Podemos expressar da seguinte forma:
$x = 5 \cdot {q}_{1} + 2$

Daqui:

dividindo-se um número "Y" por 5 obtem-se resto 4

Escrevemos:
$y = 5 \cdot {q}_{2} + 4$

Com ${q}_{1}, {q}_{2} \in Z^*$

De modo que o produto

será:
$xy = (5{q}_{1} + 2) \cdot (5{q}_{2} + 4)$

$xy = 25{q}_{1}{q}_{2} + 20{q}_{1} + 10{q}_{2} + 8$

*A expansão desta potência (xy)^5

:
$(xy)^5 = (25{q}_{1}{q}_{2} + 20{q}_{1} + 10{q}_{2} + 8)^5$

Terá a seguinte aparência (informalmente):
$(xy)^5 = \dots + 8^5$

Onde $( \dots )$ são produtos envolvendo ${q}_{1}$ e ${q}_{2}$ , sendo todos estes produtos múltiplos de 5, porque são múltiplos, ou de 25, ou de 20, ou de 10.

Ou seja, para que (xy)^5 + k

(com $k \in Z_ +$ ou $k \in N$ ) seja múltiplo de 5, bastará que:
8^5 + k

seja múltiplo de 5.

Como pede-se o menor

, e

, temos:

(múltiplo de 5)
Com k=2

.

Alternativa d) k=2

heroncius, repare que há infinitas possibilidades para os valores de x e de y.
Podem ser obtidos a partir destas equações:
$\left\{ \begin{array}{l} x = 5 \cdot {q}_{1} + 2 \\ y = 5 \cdot {q}_{2} + 4 \end{array}$

Com ${q}_{1} \in \{1, 2, 3, \dots \}$ e ${q}_{2} \in \{1, 2, 3, \dots \}$

Ou seja, x pode ser 7, 12, 17, 23 etc.
y pode ser 9, 14, 19, 24 etc.