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Demonstração

Demonstração

Mensagempor Lorettto » Qui Dez 16, 2010 23:03

Como posso provar verdadeira essa questão ?


Se Z = cis?, mostre que (1+z)/(1-z) = i.cotg(?/2)
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Re: Demonstração

Mensagempor Elcioschin » Sáb Dez 18, 2010 14:06

Loretto

É bastante trabalhoso mas vc consegue chegar lá.
Lembre-se da trigonometria que:

1 + cos? = 2sen²(?/2)
1 - sen? = 2cos²(?/2)

sen? = 2sen(?/2)cos(?/2)
sen²? + cos²? = 1

Depois faça:

z = cis? ----> z + cos? + isen?

(1 + z)/(1 - z) = (1 + cos? + isen?)/(1 - cos? - isen?)

Subistitua pelos valores das duas primeiras linhas
Depois multiplique pelo conjugado do denominador
Depois basta ir simplificando
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Re: Demonstração

Mensagempor Lorettto » Sáb Dez 18, 2010 18:54

Obrigadão pela sua sugestão. Eu havia tentado algo parecido, mas no fim acabei encontrando valores para o Teta. É importante lembrar que não queremos o Teta, e sim provar ser verdadeiro a hipótese. Vou seguir o que você passou e ver o que consigo. Realmente, é bem trabalhoso.
Abraço, Loreto
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Re: Demonstração

Mensagempor Elcioschin » Seg Dez 20, 2010 12:39

Loretto

Pode confiar no caminho que eu sugerí.
Eu fiz em papel e deu certo. Só fiquei sem tempo e paciência para digitar tudo.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.