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Provas de Matematica UNIFEI 2008

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Provas de Matematica UNIFEI 2008

Mensagempor WiLLKun » Qua Jan 23, 2008 01:21

Aeee gente
blz?
disculpa ae a demora pra postar, mas eh tva sem animo pra pensar em provas e respostas
mas tah ai, tanto matematica da primeira prova qto a matematica da segunda prova
http://img89.imageshack.us/img89/1457/digitalizar0003ze5.gif
http://img231.imageshack.us/img231/2451/digitalizar0004fv4.gif
http://img177.imageshack.us/img177/2655/digitalizar0001ah7.gif
http://img255.imageshack.us/img255/9025/digitalizar0002yl7.gif

tah ai os scans das provas, eu soh tive um poko de cuidado pra apagar respostas e resoluçoes, pq pode ter alguma mto ridicula e nao qro virar perola de vestibular, estava com um poko de sono no segundo dia, foram 2 provas em horario diferentes, redaçao de manhan e fisica+mat de tarde

flww ae... divirtam-se resolvendo
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Resolução questão 1 - UNIFEI 2008

Mensagempor fabiosousa » Qua Jan 23, 2008 13:41

Por ser uma resolução antecipada, estejam a vontade para escreverem comentários e/ou eventuais correções, assim como postarem suas próprias resoluções. Na ocasião do gabarito oficial, faremos uma comparação das respostas.


Questão 1)
Um pai tem, hoje, 50 anos e os seus três filhos têm 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos a soma das idades dos três filhos será igual à idade do pai?

Resolução)

Idéia da situação:
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
&presente&futuro\\
\hline\hline
pai&50&50+x\\
filhos&5+7+10&5+x+7+x+10+x\\
\hline
\end{tabular}
Sendo x o número de anos decorridos.

Queremos que:
50+x = 5+7+10+3x

2x = 50-22

x = \frac{28}{2}

x=14
Resposta: daqui a 14 anos.

Conferindo: o pai terá 64 anos, assim como a soma das idades dos filhos (19, 21 e 24).
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Resolução questão 2 - UNIFEI 2008

Mensagempor fabiosousa » Qua Jan 23, 2008 15:53

Questão 2)
Durante quanto tempo deve ser aplicado um determinado capital, a juros simples e à taxa de 0,75% ao mês, para que o montante, no final da aplicação, seja igual a \frac{9}{5} do capital aplicado?

Resolução)

Informações:
-juros simples
C: capital inicial
J: total acumulado de juros no período
t: número de meses
i: taxa de juros
M: montante final

t=?
i=0,75% a.m.
M=\frac{9}{5}C

J = C \cdot i \cdot t

M = C + J

Condição do problema:
M = \frac{9}{5}C

C + J = \frac{9}{5}C

C + C \cdot i \cdot t = \frac{9}{5}C
\div C


1 + i \cdot t = \frac{9}{5}

i \cdot t = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}

t = \frac{4}{5i}

t = \frac{4}{5i} =  \frac{4}{5 \cdot { \frac{0,75}{100}}} = \frac{4\cdot 100}{5 \cdot 0,75}

t \approx 107 meses
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Resolução questão 3 - UNIFEI 2008

Mensagempor fabiosousa » Qua Jan 23, 2008 21:57

Questão 3)
Para que valores de m\in\Re a equação x^2+(2m+1)x+(m-2)=0 admite raízes reais, distintas e ambas negativas?

Resolução)

Condições:
i) raízes reais
ii) raízes distintas
iii) ambas negativas

Através do discriminante, verificamos as condições i e ii.
\Delta = (2m+1)^2-4(m-2)

\Delta = 4m^2+\cancel{4m}+1-\cancel{4m}

\Delta = 4m^2+1

O discriminante em m, representa outra função do segundo grau que não possui raízes reais (possui um par de raízes complexas) e sua parábola é côncava para cima. Ou seja, \Delta é sempre positivo:
\Delta = 4m^2+1 > 0
De modo que valerá i e ii para todo m\in\Re.

Vamos analisar iii através da soma e do produto das raízes.

Soma:
x_1 + x_2 = \frac{-(2m+1)}{1}

Produto:
x_1 \cdot x_2 = \frac{m-2}{1}
Mais detalhes sobre soma e produto das raízes de uma função do segundo grau:
viewtopic.php?f=97&t=127&p=216#p216


Para que as raízes sejam ambas negativas, a soma deverá ser negativa e seu produto positivo:
\left\{ \begin{matrix}
-(2m+1) &< 0 \\
m-2 &> 0
\end{matrix}
\right.

\left\{ \begin{matrix}
2m+1 &> 0 \\
m &> 2
\end{matrix}
\right.

\left\{ \begin{matrix}
2m &> -1 \\
m &> 2
\end{matrix}
\right.

\left\{ \begin{matrix}
m &> -\frac12 \\
m &> 2
\end{matrix}
\right.

Da intersecção (e):
m > 2 sendo m\in\Re.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?