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Unifei - prova3 2007

Provas
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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Unifei - prova3 2007

Mensagempor WiLLKun » Ter Jan 15, 2008 23:42

Olá gente
vou fazer o vestibular da unifei este final de semana, e qdo fui dar uma conferida na prova dissertativa de matematica, fornecida por eles, mal conseguia responder as questoes e mto menos entender as respostas dadas por eles, ou conseguir seguir a linha de raciocinio para chegar nestes resultados, gostaria de saber se ninguen poderia fazer as resoluçoes dessa prova, sao 10 questoes
http://www.vestibular.unifei.edu.br/arquivos_upload/provas/2007/Prova%203%20-%202007%20-%20Matematica.doc

se tiver como fazer essas resoluçoes de modo q seja possivel compreender


obrigado ^^
WiLLKun
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Re: Unifei - prova3 2007

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 04:36

Olá WiLLKun!

Nesta semana, eu particularmente não tenho disponibilidade de tentar resolver estas 10 questões no prazo que você precisa.
Como por enquanto ninguém respondeu, caso você tenha alguma dúvida mais específica, talvez possamos ajudar.

Uma resolução de prova inteira, da forma didática como você espera, demanda mais tempo e dedicação de quem for ajudar, o que entra em conflito com sua expectativa para este final de semana.
Sendo assim, durante estes seus estudos às vésperas, acredito que as dúvidas mais pontuais ainda poderão ser respondidas.

De qualquer forma, posteriormente, dedicarei tempo para cada uma das questões e postarei aqui meus comentários.

Bons estudos!
Fábio Sousa
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Questão 1

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 06:24

Resolução da questão 1:
unifei_prova3_2007_questao1.PDF



Apenas anexando a prova, no caso do link original não funcionar para os próximos leitores:
UNIFEI - Prova 3 - 2007 - Matematica.doc
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Questão 2

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 07:39

Resolução da questão 2:
unifei_prova3_2007_questao2.PDF
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Questão 3

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 18:03

Resolução da questão 3:
unifei_prova3_2007_questao3.PDF
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Re: Unifei - prova3 2007

Mensagempor WiLLKun » Sáb Jan 19, 2008 21:24

nossa cra valeu heim... sei lah tem materias q nao peguei mto bem na escola pq tive de mudar de colegio... log e funçao mais avançado tenhu dificuldade ainda
como estasprovas soh vem com resultado fikei boiando em algumas e outras tive duvida por nao encontrar o mesmo resultado
tuas resoluçoes esto boas ^^ vlww mesmo... amanhan eh minha prova pratica de mat e fisica, mas fazer oq neh, as vezes eh ateh bom eu nao passar dessa vez, passar no vestibular nao qr dizer q vai se dar bem na facul, nunk fis cursinho tmb
vlwww por tudo e se tver como vc terminar de fazer a prova... soh nao precisa ter pressa
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Questão 4

Mensagempor fabiosousa » Dom Jan 20, 2008 19:29

Olá WiLLKun.
Espero que você tenha ido bem na prova!

Estou tentando fazer as resoluções de forma compreensível.
Mas ressalto que novos questionamentos sempre podem ser feitos.
Quanto mais soubermos especificar nossas dúvidas, melhor.

Nas resoluções de problemas sempre são utilizados resultados previamente obtidos: teoremas, propriedades, fórmulas etc.
Caso algum trecho tenha ficado obscuro, compartilhe conosco.

Resolução da questão 4:
unifei_prova3_2007_questao4.PDF
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Questão 5

Mensagempor fabiosousa » Ter Jan 22, 2008 18:50

Diferentemente das outras respostas do gabarito, neste caso, a resolução tem que ser completa.
Entretanto, considerando as entre-linhas, ainda podemos questionar:
i) 1o. membro? (a+b)log_{k}^{ab}
ii)Soma das raízes? m
iii)Produto das raízes? k^p

Nesta resolução, vamos evidenciar estes passos, pois provavelmente são os principais causadores de dúvidas.

Començado pelo 1o. membro, vamos reescrevê-lo em etapas para entendermos o que está no gabarito:
log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =

=a \cdot log_{k}^{a}+b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a}+a  \cdot log_{k}^{b} =

=a \cdot log_{k}^{a} + a  \cdot log_{k}^{b} + b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a} =

=a( log_{k}^{a} + log_{k}^{b} ) + b( log_{k}^{b} + log_{k}^{a} ) =

=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{b \cdot a} =

=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{a \cdot b} =

=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}

Então, o passo (i) está mais detalhado.

Onde a e b são, por hipótese, as raízes da equação:
x^2-mx+k^p=0


Agora, vamos percorrer a obtenção da soma e do produto das raízes de uma equação do segundo grau, para entendermos (ii) e (iii).
Vamos considerar esta equação, onde \alpha ,\beta , \gamma \in \Re, \alpha\neq0.
\alpha x^2+\beta x+\gamma=0
Onde as duas raízes são:
x_1 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
e
x_2 = \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}

Soma das raízes:
x_1 + x_2 = 
\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
+
\frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=

=\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}=

=\frac{-2\beta}{2\alpha}=

=\frac{-\beta}{\alpha}

Voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0
Temos que:
\alpha = 1 e \beta = -m
Logo, x_1+x_2 = \frac{-(-m)}{1} = m
E como a e b são as raízes, a+b = m (passo ii)


Produto das raízes:
x_1 \cdot x_2 = 
\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
\cdot
\frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=

=\frac{ \left(-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right) \cdot \left(-\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)}{(2\alpha)^2}=

=\frac{ {\beta^2+\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}

=\frac{ {\beta^2 - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}=

=\frac{ {\beta^2 - \left(\beta^2-4\alpha\gamma\right) } }{4\alpha^2}=

=\frac{ {\beta^2 - \beta^2 + 4\alpha\gamma } }{4\alpha^2}=

=\frac{ 4\alpha\gamma }{4\alpha^2}=

=\frac{\gamma}{\alpha}


Novamente, voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0
Temos que:
\alpha = 1, \gamma = k^p e a,b são raízes.

Logo, a \cdot b = \frac{k^p}{1} = k^p (passo iii)


Portanto, percorremos as entre-linhas do gabarito, pois uma das maneiras para resolvermos um exercício algébrico do tipo "mostre que", é partirmos exclusivamene de um membro da equação e chegarmos ao outro, provando que são de fato iguais.
Eis um resumo do que fizemos:

Partindo do 1o. membro:
log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =

=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}=

Considerando a equação:
x^2-mx+k^p=0

Vimos que a soma das raízes é:
a+b = m

Produto das raízes:
a \cdot b = k^p

Agora, substituíremos estes resultados na continuação do desenvolvimento do 1o. membro.


=m \cdot log_{k}^{ {k^p} }=

log_{k}^{ {k^p} }= p


=m \cdot p (que é o 2o. membro, onde queríamos chegar)


É claro que na prática, ou em uma resolução pessoal, nós podemos (ou, vocês podem) fazer em 4 linhas, como no gabarito.
Mas, a intenção aqui foi detalhar um pouco.
Reparem que os questionamentos podem não ter fim, como por exemplo:
-Como obtemos aquelas raízes de uma equação de segundo grau?
-Como chegamos à "fórmula de Bhaskara"?
-E as propriedades usadas de log?
-E este trecho? log_{k}^{ {k^p} }= p

Vemos que em toda resolução ficam implícitos conhecimentos prévios.
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Resolução Unifei 2008

Mensagempor fabiosousa » Qua Jan 23, 2008 14:02

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Questão 7

Mensagempor fabiosousa » Sáb Abr 05, 2008 16:42

Para n \in \math{N}^*:

-1^n =
\left\{
\begin{array}{rl}
1 & se\; n\; par\\
-1 & se\; n\; impar
\end{array}
\right.


P(-1) = (-1)^{34} + 2(-1)^{33} + 3(-1)^{32} + \cdots + 33(-1)^2 + 34(-1) + 35

P(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots 18 \cdots + 33 - 34 + 35

Somando os extremos, todas as parcelas se anulam, sobrando a central:
P(-1) = 18


P(1) = 1 + 2 + 3 + \cdots + 33 + 34 + 35

Soma dos 35 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 1 e a_1 = 1:
S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

S_{35} = \frac{(1+35)35}{2} = \frac{36\cdot 35}{2} = 18\cdot 35 = 630


P(-1) \cdot P(1) = 18 \cdot 630 = 11340
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Questão 8

Mensagempor fabiosousa » Sáb Abr 05, 2008 17:18

1º passo) encontrar a medida dos lados

Como formam uma P.A., temos:
l-3 + l + l+3 = 24

3l = 24

l = 8

Então, as medidas são 5, 8 e 11.

2º passo) testar se o triângulo é retângulo, através do teorema de Pitágoras
Pois como queremos os cossenos dos ângulos internos, a obtenção seria mais simples, fazendo cateto adjacente sobre hipotenusa.
Mas ao testar constatamos que não vale o teorema de Pitágoras para estas medidas, ou seja, o triângulo não é retângulo.
11^2 \neq 5^2 + 8^2

3º passo) aplicar o teorema dos cossenos para cada ângulo

8^2 = 5^2 + 11^2 - 2\cdot 5\cdot 11\cdot cos \hat{A}

cos \hat{A} = \frac{82}{110} = \frac{41}{55}


11^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8 \cdot cos\hat{B}

cos\hat{B} = -\frac{32}{80} = -\frac25


5^2 = 8^2 + 11^2 - 2\cdot 8 \cdot 11\cdot cos\hat{C}

cos\hat{C} = \frac{-160}{-176} = \frac{10}{11}



4º passo) calcular a soma

S = \frac{41}{55} - \frac25 + \frac{10}{11} = \frac{41 -22 + 50}{55} = \frac{69}{55}
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?