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Unifei - prova3 2007

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Unifei - prova3 2007

Mensagempor WiLLKun » Ter Jan 15, 2008 23:42

Olá gente
vou fazer o vestibular da unifei este final de semana, e qdo fui dar uma conferida na prova dissertativa de matematica, fornecida por eles, mal conseguia responder as questoes e mto menos entender as respostas dadas por eles, ou conseguir seguir a linha de raciocinio para chegar nestes resultados, gostaria de saber se ninguen poderia fazer as resoluçoes dessa prova, sao 10 questoes
http://www.vestibular.unifei.edu.br/arquivos_upload/provas/2007/Prova%203%20-%202007%20-%20Matematica.doc

se tiver como fazer essas resoluçoes de modo q seja possivel compreender


obrigado ^^
WiLLKun
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Re: Unifei - prova3 2007

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 04:36

Olá WiLLKun!

Nesta semana, eu particularmente não tenho disponibilidade de tentar resolver estas 10 questões no prazo que você precisa.
Como por enquanto ninguém respondeu, caso você tenha alguma dúvida mais específica, talvez possamos ajudar.

Uma resolução de prova inteira, da forma didática como você espera, demanda mais tempo e dedicação de quem for ajudar, o que entra em conflito com sua expectativa para este final de semana.
Sendo assim, durante estes seus estudos às vésperas, acredito que as dúvidas mais pontuais ainda poderão ser respondidas.

De qualquer forma, posteriormente, dedicarei tempo para cada uma das questões e postarei aqui meus comentários.

Bons estudos!
Fábio Sousa
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Questão 1

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 06:24

Resolução da questão 1:
unifei_prova3_2007_questao1.PDF



Apenas anexando a prova, no caso do link original não funcionar para os próximos leitores:
UNIFEI - Prova 3 - 2007 - Matematica.doc
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Questão 2

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 07:39

Resolução da questão 2:
unifei_prova3_2007_questao2.PDF
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Questão 3

Mensagempor fabiosousa » Sáb Jan 19, 2008 18:03

Resolução da questão 3:
unifei_prova3_2007_questao3.PDF
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Re: Unifei - prova3 2007

Mensagempor WiLLKun » Sáb Jan 19, 2008 21:24

nossa cra valeu heim... sei lah tem materias q nao peguei mto bem na escola pq tive de mudar de colegio... log e funçao mais avançado tenhu dificuldade ainda
como estasprovas soh vem com resultado fikei boiando em algumas e outras tive duvida por nao encontrar o mesmo resultado
tuas resoluçoes esto boas ^^ vlww mesmo... amanhan eh minha prova pratica de mat e fisica, mas fazer oq neh, as vezes eh ateh bom eu nao passar dessa vez, passar no vestibular nao qr dizer q vai se dar bem na facul, nunk fis cursinho tmb
vlwww por tudo e se tver como vc terminar de fazer a prova... soh nao precisa ter pressa
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Questão 4

Mensagempor fabiosousa » Dom Jan 20, 2008 19:29

Olá WiLLKun.
Espero que você tenha ido bem na prova!

Estou tentando fazer as resoluções de forma compreensível.
Mas ressalto que novos questionamentos sempre podem ser feitos.
Quanto mais soubermos especificar nossas dúvidas, melhor.

Nas resoluções de problemas sempre são utilizados resultados previamente obtidos: teoremas, propriedades, fórmulas etc.
Caso algum trecho tenha ficado obscuro, compartilhe conosco.

Resolução da questão 4:
unifei_prova3_2007_questao4.PDF
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Questão 5

Mensagempor fabiosousa » Ter Jan 22, 2008 18:50

Diferentemente das outras respostas do gabarito, neste caso, a resolução tem que ser completa.
Entretanto, considerando as entre-linhas, ainda podemos questionar:
i) 1o. membro? (a+b)log_{k}^{ab}
ii)Soma das raízes? m
iii)Produto das raízes? k^p

Nesta resolução, vamos evidenciar estes passos, pois provavelmente são os principais causadores de dúvidas.

Començado pelo 1o. membro, vamos reescrevê-lo em etapas para entendermos o que está no gabarito:
log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =

=a \cdot log_{k}^{a}+b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a}+a  \cdot log_{k}^{b} =

=a \cdot log_{k}^{a} + a  \cdot log_{k}^{b} + b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a} =

=a( log_{k}^{a} + log_{k}^{b} ) + b( log_{k}^{b} + log_{k}^{a} ) =

=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{b \cdot a} =

=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{a \cdot b} =

=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}

Então, o passo (i) está mais detalhado.

Onde a e b são, por hipótese, as raízes da equação:
x^2-mx+k^p=0


Agora, vamos percorrer a obtenção da soma e do produto das raízes de uma equação do segundo grau, para entendermos (ii) e (iii).
Vamos considerar esta equação, onde \alpha ,\beta , \gamma \in \Re, \alpha\neq0.
\alpha x^2+\beta x+\gamma=0
Onde as duas raízes são:
x_1 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
e
x_2 = \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}

Soma das raízes:
x_1 + x_2 = 
\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
+
\frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=

=\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}=

=\frac{-2\beta}{2\alpha}=

=\frac{-\beta}{\alpha}

Voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0
Temos que:
\alpha = 1 e \beta = -m
Logo, x_1+x_2 = \frac{-(-m)}{1} = m
E como a e b são as raízes, a+b = m (passo ii)


Produto das raízes:
x_1 \cdot x_2 = 
\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}
\cdot
\frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=

=\frac{ \left(-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right) \cdot \left(-\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)}{(2\alpha)^2}=

=\frac{ {\beta^2+\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}

=\frac{ {\beta^2 - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}=

=\frac{ {\beta^2 - \left(\beta^2-4\alpha\gamma\right) } }{4\alpha^2}=

=\frac{ {\beta^2 - \beta^2 + 4\alpha\gamma } }{4\alpha^2}=

=\frac{ 4\alpha\gamma }{4\alpha^2}=

=\frac{\gamma}{\alpha}


Novamente, voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0
Temos que:
\alpha = 1, \gamma = k^p e a,b são raízes.

Logo, a \cdot b = \frac{k^p}{1} = k^p (passo iii)


Portanto, percorremos as entre-linhas do gabarito, pois uma das maneiras para resolvermos um exercício algébrico do tipo "mostre que", é partirmos exclusivamene de um membro da equação e chegarmos ao outro, provando que são de fato iguais.
Eis um resumo do que fizemos:

Partindo do 1o. membro:
log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =

=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}=

Considerando a equação:
x^2-mx+k^p=0

Vimos que a soma das raízes é:
a+b = m

Produto das raízes:
a \cdot b = k^p

Agora, substituíremos estes resultados na continuação do desenvolvimento do 1o. membro.


=m \cdot log_{k}^{ {k^p} }=

log_{k}^{ {k^p} }= p


=m \cdot p (que é o 2o. membro, onde queríamos chegar)


É claro que na prática, ou em uma resolução pessoal, nós podemos (ou, vocês podem) fazer em 4 linhas, como no gabarito.
Mas, a intenção aqui foi detalhar um pouco.
Reparem que os questionamentos podem não ter fim, como por exemplo:
-Como obtemos aquelas raízes de uma equação de segundo grau?
-Como chegamos à "fórmula de Bhaskara"?
-E as propriedades usadas de log?
-E este trecho? log_{k}^{ {k^p} }= p

Vemos que em toda resolução ficam implícitos conhecimentos prévios.
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Resolução Unifei 2008

Mensagempor fabiosousa » Qua Jan 23, 2008 14:02

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Questão 7

Mensagempor fabiosousa » Sáb Abr 05, 2008 16:42

Para n \in \math{N}^*:

-1^n =
\left\{
\begin{array}{rl}
1 & se\; n\; par\\
-1 & se\; n\; impar
\end{array}
\right.


P(-1) = (-1)^{34} + 2(-1)^{33} + 3(-1)^{32} + \cdots + 33(-1)^2 + 34(-1) + 35

P(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots 18 \cdots + 33 - 34 + 35

Somando os extremos, todas as parcelas se anulam, sobrando a central:
P(-1) = 18


P(1) = 1 + 2 + 3 + \cdots + 33 + 34 + 35

Soma dos 35 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 1 e a_1 = 1:
S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

S_{35} = \frac{(1+35)35}{2} = \frac{36\cdot 35}{2} = 18\cdot 35 = 630


P(-1) \cdot P(1) = 18 \cdot 630 = 11340
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Questão 8

Mensagempor fabiosousa » Sáb Abr 05, 2008 17:18

1º passo) encontrar a medida dos lados

Como formam uma P.A., temos:
l-3 + l + l+3 = 24

3l = 24

l = 8

Então, as medidas são 5, 8 e 11.

2º passo) testar se o triângulo é retângulo, através do teorema de Pitágoras
Pois como queremos os cossenos dos ângulos internos, a obtenção seria mais simples, fazendo cateto adjacente sobre hipotenusa.
Mas ao testar constatamos que não vale o teorema de Pitágoras para estas medidas, ou seja, o triângulo não é retângulo.
11^2 \neq 5^2 + 8^2

3º passo) aplicar o teorema dos cossenos para cada ângulo

8^2 = 5^2 + 11^2 - 2\cdot 5\cdot 11\cdot cos \hat{A}

cos \hat{A} = \frac{82}{110} = \frac{41}{55}


11^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8 \cdot cos\hat{B}

cos\hat{B} = -\frac{32}{80} = -\frac25


5^2 = 8^2 + 11^2 - 2\cdot 8 \cdot 11\cdot cos\hat{C}

cos\hat{C} = \frac{-160}{-176} = \frac{10}{11}



4º passo) calcular a soma

S = \frac{41}{55} - \frac25 + \frac{10}{11} = \frac{41 -22 + 50}{55} = \frac{69}{55}
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.